ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

Задача 1.

Исследуемый физический процесс описывается уравнением x(t) = 3t3-3t2+4. Определите первую и вторую производные функции x = x(t) момент времени 2 с. Найдите интеграл данной функции в интервале от 1 до 3 методом трапеций. Решите задачу аналитически и сравните результаты.

Алгоритм решения этой задачи АЛ-1 представлен ниже. При уменьшении шага h получающиеся значения производной и интеграла стремятся к некоторым предельным значениям, которые совпадают с аналитически найденными значениями производной y' и интеграла I функции (табл. 1).

                                  Алгоритм АЛ - 1
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ Funct:=t*t*t-t*t+3;         
----------------------
НАЧАЛО ПРОГРАММЫ
   t:=3; h:=0.001;
   y1:=Funct(t-h); y2:=Funct(t); y3:=Funct(t+h);
   ПЕЧАТЬ "Первая производная ", (y2-y1)/h
   ПЕЧАТЬ "Вторая производная ", (y1-2*y2+y3)/(h*h)
   a:=1; b:=3; t:=a; S:=0;
   ПОВТОРЯТЬ{S:=S+0.5*(Funct(t)+Funct(t+h))*h; t:=t+h;}
   ПОКА НЕ t>b;
   ПЕЧАТЬ "Интеграл  ", S
КОНЕЦ ПРОГРАММЫ

Решением задачи является программа ПР-1. При уменьшении шага точность вычислений обычно возрастает. Если же шаг очень мал, то для нахождения интеграла приходится суммировать слишком большое число слагаемых, что приводит к снижению точности. Точные значения первых двух производных и интеграла приведены в нижней строчке табл. 1.

Программа ПР-1.

Таблица 1. Результаты вычислений

Шаг Δx=hx'x''I
0,2 21,12030,00042,200
0,1 22,53030,00048,177
0,01 23,85030,00042,584
0,001 23,98530,00042,000
0,0001 23,99830,00642,000
0,00001 24,00030,26842,001
Точн. знач.24 30 42

Задача 2.

Точка движется по закону: x=3cos(t), y=2cos(3,7t+2). Вычислите координаты x, y, проекции и модули скорости vx, vy, v и ускорения ax, ay, a, нормальное aн и тангенциальное aт ускорения в моменты времени t=iΔt, i=1, 2, ...

Решением задачи является программа ПР-2.

Программа ПР-2.

Задача 3.

Имеется неоднородная пластина, ограниченная функцией y=x1/2, осью абсцисс, прямой x=2, плотность которой равна ρ(x, y)=2+0,4y+0,2x2. Найдите момент инерции пластины относительно оси Ox.

Рис. 1. К нахождению момента инерции пластины.

Рис. 1. К нахождению момента инерции пластины.

Вычисление момента инерции тела сводится к интегрированию по объему и нахождению суммы элементарных моментов инерции. Разобьем тело (рис. 1) на элементарные объемы dV=h·dx·dy массами dm=ρdV, имеющими моменты инерции относительно оси Ox dI=y2dm. Для нахождения суммы всех элементарных моментов инерции dI организуют два вложенных цикла, в которых перебираются и суммируются все dI (программа ПР-3).

Программа ПР-3.

Задача 4.

Решите дифференциальное уравнение первого порядка y'x-f(x, y)=0 (например, y'x-sin(x)=0) методом Эйлера. Получите семейство решений, соответствующих различным начальным условиям y0=y(0).

Запишите уравнение в конечных разностях:

dy/dx = f(x,y), (yi+1-yi)/h=f(x,y),

где h=Δ x - шаг сетки по x. Отсюда следует:

yi+1=yi+f(x,y)h.

Чтобы численно решить уравнение, необходимо переменной y присвоить значение y_0 = y(0), а затем в цикле рассчитать последующие значения yi при i = 1, 2, ... в соответствии с приведенной выше формулой. В программе ПР-4 (алгоритм АЛ - 2) решается уравнение y'x-sin(x)=0 при трех различных начальных условиях y(0) = 0, 0.5, 1. Получается семейство из трех функций, отличающихся на постоянную величину.

                                Алгоритм АЛ-2
ДЛЯ j:=0 ДО 3 ДЕЛАТЬ {-              
  dx:=0.01: y:=.5*j
  ДЛЯ i:=1 ДО 1000 ДЕЛАТЬ {--
    FNN:=sin(x); x:=i*dx; y:=y+FNN*dx;
    ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y) --} -}

Используемая программа ПР-4 представлена ниже. Результаты ее использования -- на рис. 2.

Программа ПР-4.

Рис. 2. Решение дифференциального уравнения.

Рис. 2. Решение дифференциального уравнения

Задача 5.

Тело ограничено поверхностями z1=f(x,y), z2=f(x,y). Зависимость плотности от координат ρ=ρ(x,y,z) известна. Методом Монте-Карло определите объем, массу и положение центра масс тела.

Рис. 3. К вычислению массы, объема и координат центра масс тела

Рис. 3. К вычислению массы, объема и координат центра масс тела

Пусть тело ограничено поверхностями z1=1-1,3x2-y2, z2=x2-1 (рис. 3). Плотность тела задается соотношением: если x>-0,1, то ρ=3y + 5z + 10, иначе ρ=20. Опишем вокруг тела куб, стороны которого перпендикулярны осям координат и пересекают их в точках 1 и -1. Случайным образом наполним куб большим количеством точек (106) с координатами x, y, z. Подсчитаем количество точек nt, попавших внутрь тела, тогда объем тела во столько раз меньше объема куба (который равен 4 м3), во сколько раз число nt меньше общего числа точек N.

Чтобы определить массу и координаты центра масс, учтем, что на каждую точку приходится элементарный объем dV=4/N. Поэтому будем умножать dV на плотность ρ в данной точке, получающиеся элементарные массы складывать. Так мы найдем массу тела msum. Для нахождения координат центра масс:

xsum:=xsum+rho*dV*x; ysum:=ysum+rho*dV*y;
zsum:=zsum+rho*dV*z; msum:=msum+rho*dV; end;
xc:=xsum/msum; yc:=ysum/msum; zc:=zsum/msum;

Решением задачи является программа ПР-5.

Программа ПР-5.

Задача 6.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''x-f(x,y,y'_x) = 0 (например, y''x+y'x+1,2y - 5sin(x) = 0) методом Эйлера. Начальные условия yx(0), y'x(0).

Дифференциальное уравнение второго порядка представимо в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

В программе ПР-6 создан цикл по i, в котором пересчитываются значения yi, y'i и решается уравнение y''x+y'x+1,2y-5sin(x)=0 (алгоритм АЛ-3). Результаты решения -- на рис. 4.

y = 20: dx = 0.01                            АЛ - 3
ДЛЯ i = 1 ДО 5000 ДЕЛАТЬ {-      x = x + dx
    pr2y = 5 * SIN(x) - .1 * pr1y - 1.2 * y
    pr1y = pr1y + pr2y * dx; y = y + pr1y * dx
    ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)      -}

Программа ПР-6.

Рис. 4. Решение дифференциального уравнения

Рис. 4. Решение дифференциального уравнения

Задача 7.

Решите дифференциальное уравнение первого порядка вида y'x-f(x,y) = 0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка.

Сущность метода Рунге - Кутта четвертого порядка выражается следующими формулами:

Организуем цикл по i, в котором вычисляются значения функции y(x) по этой схеме. Например, для решения уравнения y'x-2sin(x)+0.5/y=0 используется алгоритм АЛ-4.

                                         АЛ - 4
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ FNN (x, y) = 2 * SIN(x) + .5 / y
--------------------------------
y = 1: dx = .01
ДЛЯ i = 1 ДО 1500 ДЕЛАТЬ {-  
  x = i * dx; k1 = FNN(x, y);
  k2 = FNN(x + dx / 2, y + dx * k1 / 2)
  k3 = FNN(x + dx / 2, y + dx * k1 / 2)
  k4 = FNN(x + dx, y + k3)
  y = y + dx / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
  ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)             -}

Этот алгоритм реализован в программе ПР-7. Результат -- на рис. 5.

Программа ПР-7.

Рис. 5. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Рис. 5. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Задача 8.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''x-f(x, y, y'x)=0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Начальные условия yx(0), y'x(0).

Записывают данное уравнение в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и используют рассмотренную выше схему Рунге - Кутта. Используется алгоритм АЛ-5.

                               Алгоритм АЛ-5
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ FNN1 (x, y, pr1) = SIN(x) - 
                          .25 * pr1 - .9 * SIN(y)
--------------------------------
y = 2: v = 0: dx = .01
ДЛЯ i = 1 ДО 8000 ДЕЛАТЬ {-  
   x = i * dx: k1 = FNN1(x, y, pr1)
   k2 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k1 / 2)
   k3 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k2 / 2)
   k4 = FNN1(x + dx, y, pr1 + k3)
   pr1 = pr1 + dx / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
   y = y + pr1 * dx
   ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)        -}

Программа ПР-8 позволяет решить уравнение y''x+0,25y'x + 0,9sin(y)=sin(x). Результаты представлены на рис. 6.

Программа ПР-8.

Рис. 6. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Рис. 6. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Задача 9.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую со стороны шарообразного тела радиуса R, на материальную точку массой m, находящуюся на расстоянии z' от центра. Плотность шара ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра.

Рис. 7. К расчету взаимодействия шара и точки

Рис. 7. К расчету взаимодействия шара и точки

Распределение плотности шарообразного тела, а значит, и его гравитационное поле обладают центральной симметрией, поэтому задачу следует решать в сферической системе координат (рис. 7). Результирующая сила может быть найдена по формулам:

где i = 1, 2, ... , n, n - число элементарных масс Δmi, li=z'-r cosθi. Программа ПР-9 для расчета искомой силы F содержит вложенные друг в друга цикл по r, цикл по φ и цикл по θ, позволяющие перебрать все элементарные массы тела, рассчитать и просуммировать проекции сил ΔF на ось Oz.

Программа ПР-9.

Задача 10.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую между неоднородным диском радиусом R, толщиной h и однородным стержнем массой m1, концы которого имеют координаты a и b>R. Зависимость плотности диска от координаты: ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра O.

Рис. 8. К расчету взаимодействия диска и стержня

Рис. 8. К расчету взаимодействия диска и стержня

Распределение массы обладает осевой симметрией. Будем использовать полярную и декартовую системы координат (рис. 8). Разобьем диск на n элементарных объемов ΔV=rh ΔφΔr с координатами xi=r cos(φ), yi=r sin(φ) и массами Δm=ρ(r)ΔV=ρ(r) rhΔφΔr. Стержень рассмотрим как k элементарных масс Δm1=m1/k с координатами x1j=a+jΔx, где j = 1, 2, ... , k. Расстояние между Δmi и Δm1j равно dij=[(xi - x1j)2 + yi2]0,5. Проекция силы ΔFij на ось Oz равна:

В используемой программе ПР-10 перебираются все элементарные массы Δmi и Δm1i обоих тел, определяются и суммируются проекции сил притяжения на ось Oz.

Программа ПР-10.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-1.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .