Исследуемый физический процесс описывается уравнением x(t) = 3t³-3t²+4. Определите первую и вторую производные функции x = x(t) момент времени 2 с. Найдите интеграл данной функции в интервале от 1 до 3 методом трапеций. Решите задачу аналитически и сравните результаты.

Алгоритм решения этой задачи АЛ-1 представлен ниже. При уменьшении шага h получающиеся значения производной и интеграла стремятся к некоторым предельным значениям, которые совпадают с аналитически найденными значениями производной y' и интеграла I функции (табл. 1).

                                  Алгоритм АЛ - 1
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ Funct:=t*t*t-t*t+3;         
----------------------
НАЧАЛО ПРОГРАММЫ
   t:=3; h:=0.001;
   y1:=Funct(t-h); y2:=Funct(t); y3:=Funct(t+h);
   ПЕЧАТЬ "Первая производная ", (y2-y1)/h
   ПЕЧАТЬ "Вторая производная ", (y1-2*y2+y3)/(h*h)
   a:=1; b:=3; t:=a; S:=0;
   ПОВТОРЯТЬ{S:=S+0.5*(Funct(t)+Funct(t+h))*h; t:=t+h;}
   ПОКА НЕ t>b;
   ПЕЧАТЬ "Интеграл  ", S
КОНЕЦ ПРОГРАММЫ

Имеется неоднородная пластина, ограниченная функцией y=x^1/2, осью абсцисс, прямой x=2, плотность которой равна ρ(x, y)=2+0,4y+0,2x². Найдите момент инерции пластины относительно оси Ox.

Вычисление момента инерции тела сводится к интегрированию по объему и нахождению суммы элементарных моментов инерции. Разобьем тело (рис. 1) на элементарные объемы dV=h·dx·dy массами dm=ρdV, имеющими моменты инерции относительно оси Ox dI=y²dm. Для нахождения суммы всех элементарных моментов инерции dI организуют два вложенных цикла, в которых перебираются и суммируются все dI (программа ПР-3).

Решите дифференциальное уравнение первого порядка y'_x-f(x, y)=0 (например, y'_x-sin(x)=0) методом Эйлера. Получите семейство решений, соответствующих различным начальным условиям y₀=y(0).

Запишите уравнение в конечных разностях:

Чтобы численно решить уравнение, необходимо переменной y присвоить значение y_0 = y(0), а затем в цикле рассчитать последующие значения y_i при i = 1, 2, ... в соответствии с приведенной выше формулой. В программе ПР-4 (алгоритм АЛ - 2) решается уравнение y'_x-sin(x)=0 при трех различных начальных условиях y(0) = 0, 0.5, 1. Получается семейство из трех функций, отличающихся на постоянную величину.

Тело ограничено поверхностями z₁=f(x,y), z₂=f(x,y). Зависимость плотности от координат ρ=ρ(x,y,z) известна. Методом Монте-Карло определите объем, массу и положение центра масс тела.

Пусть тело ограничено поверхностями z₁=1-1,3x²-y², z₂=x²-1 (рис. 3). Плотность тела задается соотношением: если x>-0,1, то ρ=3y + 5z + 10, иначе ρ=20. Опишем вокруг тела куб, стороны которого перпендикулярны осям координат и пересекают их в точках 1 и -1. Случайным образом наполним куб большим количеством точек (10⁶) с координатами x, y, z. Подсчитаем количество точек nt, попавших внутрь тела, тогда объем тела во столько раз меньше объема куба (который равен 4 м³), во сколько раз число nt меньше общего числа точек N.

Чтобы определить массу и координаты центра масс, учтем, что на каждую точку приходится элементарный объем dV=4/N. Поэтому будем умножать dV на плотность ρ в данной точке, получающиеся элементарные массы складывать. Так мы найдем массу тела msum. Для нахождения координат центра масс:

xsum:=xsum+rho*dV*x; ysum:=ysum+rho*dV*y;
zsum:=zsum+rho*dV*z; msum:=msum+rho*dV; end;
xc:=xsum/msum; yc:=ysum/msum; zc:=zsum/msum;

Решением задачи является программа ПР-5.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''_x-f(x,y,y'_x) = 0 (например, y''_x+y'_x+1,2y - 5sin(x) = 0) методом Эйлера. Начальные условия y_x(0), y'_x(0).

Дифференциальное уравнение второго порядка представимо в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

В программе ПР-6 создан цикл по i, в котором пересчитываются значения y_i, y'_i и решается уравнение y''_x+y'_x+1,2y-5sin(x)=0 (алгоритм АЛ-3). Результаты решения -- на рис. 4.

y = 20: dx = 0.01                            АЛ - 3
ДЛЯ i = 1 ДО 5000 ДЕЛАТЬ {-      x = x + dx
    pr2y = 5 * SIN(x) - .1 * pr1y - 1.2 * y
    pr1y = pr1y + pr2y * dx; y = y + pr1y * dx
    ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)      -}

Решите дифференциальное уравнение первого порядка вида y'_x-f(x,y) = 0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка.

Сущность метода Рунге - Кутта четвертого порядка выражается следующими формулами:

Организуем цикл по i, в котором вычисляются значения функции y(x) по этой схеме. Например, для решения уравнения y'_x-2sin(x)+0.5/y=0 используется алгоритм АЛ-4.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''_x-f(x, y, y'_x)=0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Начальные условия y_x(0), y'_x(0).

Записывают данное уравнение в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и используют рассмотренную выше схему Рунге - Кутта. Используется алгоритм АЛ-5.

                               Алгоритм АЛ-5
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ FNN1 (x, y, pr1) = SIN(x) - 
                          .25 * pr1 - .9 * SIN(y)
--------------------------------
y = 2: v = 0: dx = .01
ДЛЯ i = 1 ДО 8000 ДЕЛАТЬ {-  
   x = i * dx: k1 = FNN1(x, y, pr1)
   k2 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k1 / 2)
   k3 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k2 / 2)
   k4 = FNN1(x + dx, y, pr1 + k3)
   pr1 = pr1 + dx / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
   y = y + pr1 * dx
   ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)        -}

Программа ПР-8 позволяет решить уравнение y''_x+0,25y'_x + 0,9sin(y)=sin(x). Результаты представлены на рис. 6.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую со стороны шарообразного тела радиуса R, на материальную точку массой m, находящуюся на расстоянии z' от центра. Плотность шара ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра.

Распределение плотности шарообразного тела, а значит, и его гравитационное поле обладают центральной симметрией, поэтому задачу следует решать в сферической системе координат (рис. 7). Результирующая сила может быть найдена по формулам:

где i = 1, 2, ... , n, n - число элементарных масс Δm_i, l_i=z'-r cosθ_i. Программа ПР-9 для расчета искомой силы F содержит вложенные друг в друга цикл по r, цикл по φ и цикл по θ, позволяющие перебрать все элементарные массы тела, рассчитать и просуммировать проекции сил ΔF на ось Oz.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую между неоднородным диском радиусом R, толщиной h и однородным стержнем массой m₁, концы которого имеют координаты a и b>R. Зависимость плотности диска от координаты: ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра O.

Распределение массы обладает осевой симметрией. Будем использовать полярную и декартовую системы координат (рис. 8). Разобьем диск на n элементарных объемов ΔV=rh ΔφΔr с координатами x_i=r cos(φ), y_i=r sin(φ) и массами Δm=ρ(r)ΔV=ρ(r) rhΔφΔr. Стержень рассмотрим как k элементарных масс Δm₁=m₁/k с координатами x_1j=a+jΔx, где j = 1, 2, ... , k. Расстояние между Δm_i и Δm_1j равно d_ij=[(x_i - x_1j)² + y_i²]^0,5. Проекция силы ΔF_ij на ось Oz равна: