Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Задача 1.

Имеются два кольца, центры которых лежат на одной оси, перпендикулярной содержащим их плоскостям (рис. 1). Кольца погружают в мыльный раствор и вынимают. Рассчитайте форму мыльной пленки, если радиусы колец и расстояние между их центрами известны.

Рис. 1. К вычислению профиля мыльной пленки.

Мыльная пленка принимает такую форму, при которой ее потенциальная энергия, пропорциональная площади пленки, минимальна. Таким образом, задача состоит в нахождении формы мыльной пленки, соответствующего минимуму потенциальной энергии. Очевидно, что мыльная пленка примет осесимметричную форму, однозначно определяемую функцией y=y(x), задаваемой с помощью массива y_i=y(x_i), где x_i=iΔx и Δx=l/N. Площадь поверхности фигуры вращения можно найти по формуле:

Для решения этой задачи используется программа ПР-1. Сначала задаются заведомо большие значения y_i=y(x_i). В процедуре Ploshad осуществляется вычисление площади мыльной пленки. Затем перебираются все значения y_i=y(x_i) и уменьшаются на малую величину 0.0001. При этом каждый раз вычисляется новое значение площади S1. Если при этом площадь уменьшается, то изменение y_i=y(x_i) принимается, а если нет - отвергается. Все это многократно повторяется, результаты вычислений выводятся в виде графика на экран. Получающийся результат при различных радиусах колец и расстояниях между ними представлен на рис. 2. Можно убедиться в том, что когда расстояние между кольцами превышает некоторое критическое значение, устойчивого состояния, соответствующего минимуму потенциальной энергии, не существует.

Программа ПР-1.

Рис. 2. Результаты вычислений профиля мыльной пленки.

Задача 2.

Имеется неоднородная нить. Какую форму она примет в однородном поле тяжести, если концы ее закрепить в фиксированных точках.

Нить примет форму, при которой ее потенциальная энергия минимальна. Мысленно заменим нить совокупностью материальных точек с массами m_i, которые связаны друг с другом пружинками жесткостью k и длиной b. Расстояние между соседними частицами и потенциальная энергия всей системы определяются уравнениями:

Допустим, правый конец нити привязан математическому маятнику длиной b₁ и массой m_N. Заменим нить маятника пружиной жесткостью k, тогда к потенциальной энергии системы следует прибавить величину:

Используется программа ПР-2. В ней последовательно перебираются материальные точки m_i, случайным образом изменяются их координаты, и каждый раз вычисляется получающееся значение потенциальной энергии системы. Если при смещении данной частицы потенциальная энергия уменьшилась, то это новое состояние системы принимается, иначе - отвергается. Результат моделирования представлен на рис. 3.

Программа ПР-2.

Рис. 3. Результат вычисления формы нити.

Задача 3.

Имеется неоднородная цепь, ее концы закреплены в некоторых точках. К заданной точке цепи привязана невесомая нить, которая перекинута через неподвижный блок и привязана к грузу известной массы M.

Как и при решении задачи 2, заменим цепь совокупностью материальных точек, соединенных пружинами жесткостью k и длиной b. Пусть блок имеет небольшие размеры и его координаты равны X и Y, а перекинутая через него нить привязана к k-й материальной точке с координатами x_k и y_k. Тогда при расчете потенциальной энергии системы следует учесть потенциальную энергию груза массы M:

Если к некоторой i-й точке цепи привязан груз известной массы (без блока), то при расчете формы цепи необходимо увеличить массу i-й точки на массу груза. Во всем остальном задача решается аналогично предыдущей задаче 2: случайным образом на небольшие величины изменяются координаты частиц, вычисляется потенциальная энергия системы, определяется положение системы, при которой потенциальная энергия минимальна (программа ПР-3). Результат решения - на рис. 4.

Программа ПР-3.

Рис. 4. Результат вычисления формы нити.

Задача 4.

Рассчитайте форму длинной упругой пластины, находящейся в однородном поле тяжести (рис. 5). Пластина неоднородная, один ее конец закреплен.

Рис. 5. К вычислению формы упругой пластины.

Пластину представим как систему материальных точек m[i], связанных недеформируемыми стержнями длиной b. При изгибе пластины изменяются угол φ[i] и координаты x[i], y[i]. Потенциальная энергия системы равна:

В используемой программе ПР-4 реализуется следующий алгоритм. Последовательно перебираются материальные точки m[i] и случайным образом изменяются углы φ[i]. Каждый раз пересчитывается энергия системы. Если она увеличилась, то эта конфигурация отвергается, а если уменьшилась -- принимается. В результате определяется устойчивое состояние равновесия системы, соответствующее минимуму потенциальной энергии. На рис. 6 представлены результаты расчетов для неоднородного стержня (жесткости левой и правой половин различны), к концу которого прикреплен груз (масса m[N] в 5 раз больше масс других материальных точек).

Программа ПР-4.

Рис. 6. Изгиб неоднородного стержня с грузом на конце.

Задача 5.

Показатель преломления неоднородной среды зависит от координат: n=n(x,y). Используя принцип Ферма, рассчитайте траекторию распространения светового луча из фиксированной точки A в фиксированную точку B, оптическая длина которой минимальна.

Согласно принципу Ферма свет распространяется по пути, оптическая длина которого минимальна (экстремальна). Рассмотрим сетку, состоящую из вертикалей, пересекающих ось абсцисс в точках x_i=iΔx, i=0,1,2,..,N. Траектория аппроксимируется ломаной, пересекающей линии сетки в точках y₁=y(x₁), y₂=y(x₂), y₃=y(x₃)... y_N=y(x_N). Оптическая длина пути такой траектории определяется формулой:

Будем случайным образом варьировать величины y_i=y(x_i), каждый раз определяя изменение оптической длины пути L. Если вариация y_i вызывает уменьшение оптической длины пути, то она принимается, а в противном случае, -- отвергается. Используется программа ПР-5, результат ее работы -- представлен на рис. 7.

Программа ПР-5.

Рис. 7. Распространение света в неоднородной среде.

Задача 6.

Рассчитайте форму капли жидкости, лежащей на горизонтальной поверхности в поле тяжести, для случаев: а) жидкость смачивает поверхность; б) жидкость не смачивает поверхность.

На жидкость действуют силы тяжести и поверхностного натяжения. Капля принимает форму, при которой ее потенциальная энергия минимальна. Форму капли будем аппроксимировать телом вращения, полученного в результате вращения эллипсоида, нижняя часть которого срезана (рис. 8). Уравнение осевого сечения капли имеет вид:

Площадь поверхности капли и ее потенциальная энергия равны:

Влияние сил поверхностного натяжения зависит от коэффициента K₂, который больше 0. Если жидкость смачивает поверхность, то K₁ из [-1, 0], а если не смачивает, то K₁ из [0, -1]. При изменении формы капли следует вычислять ее объем по формуле:

В программе ПР-6 случайно изменяются параметры a и c, а b вычисляется так, чтобы объем капли оставался неизменным. Принимаются такие значения, при которых потенциальная энергия системы минимальна. Результаты представлены на рис. 8.

Программа ПР-6.

Рис. 8. Вычисление формы капли на поверхности.

Задача 7.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости, налитой в цилиндрический сосуд для случаев: а) жидкость смачивает поверхность; б) жидкость не смачивает поверхность.

Рис. 9. Расчет поверхности жидкости в сосуде.

Свободная поверхность жидкости симметрична относительно вертикальной оси. Разобьем жидкость на элементарные объемы в виде трубок радиусом x_i и толщиной стенок dx (рис. 9.1). Площадь поверхности жидкости (свободная поверхность + стенки без дна) равна:

Объем всей жидкости и ее потенциальная энергия находятся по формулам:

Алгоритм решения такой же, как и в предыдущей задаче: случайным образом изменяются значения y[x] (x - целое) и вычисляется потенциальная энергия при фиксированном объеме. Если в результате такой процедуры потенциальная энергия системы увеличивается, то произошедшие изменения отвергаются, а если уменьшилась, то принимаются. Программа ПР-7 приведена ниже. Результат решения - на рис. 9.2.

Программа ПР-7.

Задача 8.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости в цилиндрическом сосуде с вертикальным стержнем для случаев: а) жидкость смачивает стержень; б) жидкость не смачивает стержень.

Задача решается аналогично предыдущей. Учитывается только смачивание стержня. Используется программа ПР-8. Получающиеся результаты приведены на рис. 10.

Рис. 10. Поверхность жидкости в сосуде со стержнем.

Программа ПР-8.

Задача 9.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости, налитой в цилиндрический сосуд со стержнем для случаев: а) жидкость смачивает поверхности стенок; б) жидкость не смачивает стенки.

Эта задача решается аналогично предыдущим. Результаты приведены на рис. 11.

Рис. 11. Расчет формы поверхности жидкости.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-10.pas.

ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .