МЕХАНИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Задача 1.

На тележке установлен резервуар с вязкой жидкостью, в котором расположена горизонтальная направляющая с массивным грузом. Тележка разгоняется до некоторой скорости и ударяется об упругое препятствие. Масса тележки и груза, жесткость пружины, коэффициент вязкого трения известны, начальные скорости заданы. Рассчитайте скорость тележки и груза после удара, промоделируйте их движение на экране монитора.

Рис. 1. Движение тележки с грузом при ударе (вязкое трение).

Рис. 1. Движение тележки с грузом при ударе (вязкое трение).

При взаимодействии тележки с пружиной на тележку действует сила упругости пружины, груз начинает скользить, и со стороны него на тележку действует сила вязкого трения. Из второго закона Ньютона можно определить ускорения тележки и груза, а затем вычислить их скорости и координаты:

Для моделирования этого явления используется программа ПР-1, содержащая цикл по времени, в котором вычисляются скорости и координаты тележки и груза. На экране появляется изображение движущихся тележки и груза до и после взаимодействия с пружиной (рис. 1).

Программа ПР-1.

Задача 2.

На тележке лежит груз, между ними действует сила трения. Тележка разгоняется до некоторой скорости и ударяется об упругое препятствие. Масса тележки и груза, другие параметры системы, а также их начальные скорости известны. Рассчитайте скорость тележки после удара. Получите на экране монитора изображения тележки и груза при взаимодействии с пружиной.

Рис. 2. Движение тележки с грузом при ударе (сухое трение).

Рис. 2. Движение тележки с грузом при ударе (сухое трение).

Решение подобно решению задачи 1 с той лишь разницей, что вместо силы вязкого трения следует учесть силу сухого трения покоя и скольжения. Программа ПР-2 вычисляет ускорения, скорости и координаты тележки и тела в последовательные моменты времени и строит их изображения на экране.

Программа ПР-2.

Задача 3.

Тележка с телом движется с некоторой скоростью. В тело попадает пуля (рис. 3) и застревает в нем (или проходит сквозь него). Как изменяются скорости тележки и пули в процессе взаимодействия?

Рис. 3. Движение тела после попадания пули.

Рис. 3. Движение тела после попадания пули.

Запишем формулы, позволяющие рассчитать ускорение пули и тела, их скорости и координаты в следующий момент времени t+1:

Программа ПР-3 содержит цикл по времени, в котором вычисляются сила взаимодействия пули и тела, их ускорения, скорости и координаты. Получающиеся графики зависимости скоростей пули и тела от времени представлены на рис. 4: слева - пуля и тело двигались навстречу друг другу, пуля прошла навылет; справа - пуля догнала тело и застряла в нем.

Программа ПР-3.

Рис. 4. Графики зависимостей скрости пули и тележки от времени.

Рис. 4. Графики зависимостей скрости пули и тележки от времени.

Задача 4.

Промоделируйте движение физического маятника, точка подвеса которого колеблется в вертикальном направлении. Изучите колебания маятника вблизи верхнего положения равновесия.

Рассматриваемый маятник называется маятником Капицы. В простейшем случае он представляет собой стержень, подвешенный за один конец к вибратору (рис. 5). Если точка подвеса колеблется в вертикальной плоскости с достаточно большими частотой и амплитудой, то маятник приобретает способность совершать колебания относительно вертикального положения равновесия.

Рис. 5. Затухающие колебания маятника Капицы.

Рис. 5. Затухающие колебания маятника Капицы.

Вместо однородного массивного стержня будем рассматривать две материальные точки, связанные невесомым упругим стержнем с достаточно большим коэффициентом упругости. Одна материальная точка является точкой подвеса. Она колеблется вдоль вертикальной оси OY с заданной частотой, от ее массы ничего не зависит. Расчет движения анализируемого маятника Капицы сводится к определению координат x, y и скоростей vx, vy второй точки. В программе ПР-4 осуществляется моделирование движения маятника Капицы со следующими параметрами: длина маятника 20 см, масса 10 г, частота колебаний точки подвеса 30 Гц, амплитуда колебаний 2 см.

Программа ПР-4.

Из теории маятника Капицы следует, что частота колебаний маятника вблизи верхнего положения равновесия равна:

где a и ω -- амплитуда и частота колебаний точки подвеса, L -- длина маятника, ω0 -- его собственная частота. Рассматриваемая выше компьютерная модель позволяет на качественном уровне подтвердить эту формулу. В самом деле при увеличении a, ω и уменьшении L частота колебаний маятника Капицы вблизи верхнего положения равновесия возрастает. Получающийся график зависимости угла φ от времени показан на рис. 5.

Задача 5.

К неподвиженой частице m1 подлетает другая частица m2. В тот момент, когда расстояние между ними оказывается меньше L0, возникает упругая связь. После этого частицы движутся так, как если бы они были связаны невесомой пружинкой. Необходимо рассчитать траекторию движения.

Используется программа ПР-5. Она содержит цикл, в котором пересчитываются ускорения, скорости и координаты частиц m1 и m2. На экране изображаются частицы и связывающая их упругая нить в последовательные моменты времени. Рассмотрены следующие ситуации: 1) m1=10 кг, m2=10 кг -- рис. 6.1; 2) m1=2 кг, m2=10 кг -- рис. 6.2; 3) m1=10 кг, m2=3 кг -- рис. 6.3.

Рис. 6. Траектории движения частиц при взаимодействии.

Рис. 6. Траектории движения частиц при взаимодействии.

Программа ПР-5.

Задача 6.

Через две невесомых неподвижных блока переброшена нить, концы которой соединены с грузами массой m1, m2. Нить упругая, имеет большой коэффициент жесткости; в начальный момент она не растянута, но и не провисает. Начальные координаты и скорости грузов заданы. Необходимо рассчитать координаты и скорости грузов после того, как система предоставлена самой себе.

Грузы заменяются материальными точками, на каждую из которых действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила вязкого трения (рис. 7). В процедуре Sila; рассчитываются длины первой и второй нитей, определяется сила натяжения (если нить растянута), и вычисляются проекции равнодействующих сил на оси координат. Программа ПР-6 содержит цикл по времени, в котором вычисляются ускорения, скорости и координаты материальных точек. Когда левый более легкий груз поднимется к блоку, он останавливается.

Рис. 7. К задаче о движении связанных тел.

Рис. 7. К задаче о движении связанных тел.

Программа ПР-6.

Рис. 8. Траектории движения связанных тел.

Рис. 8. Траектории движения связанных тел.

На рис. 7 и 8 показаны траектории движения связанных грузов при различных массах, начальных координатах и скоростях. Во всех случаях правый груз опускается, а левый -- поднимается до тех пор, пока не приблизится к левому блоку. Из рисунков видно, что грузы, двигаясь по вертикали, раскачиваются.

Задача 7.

На невесомой нерастяжимой нити подвешено небольшое тело массой m и имеющее электрический заряд q1. В начальный момент телу сообщена некоторая скорость и оно колеблется в поле тяжести. Рядом с этим маятником движется другой точечный заряд q2 по заданному закону x(t), y(t). Необходимо рассчитать движение маятника в последующие моменты времени.

На колеблющийся заряд q1 действуют сила тяжести, сила натяжения нити и сила Кулона со стороны заряда q2, который движется заданным образом. Допустим, что заряд q2 при t=0 имеет координаты (x0; y0) и движется равномерно в горизонтальном направлении со скоростью vx, а в точке с координатой x1 останавливается (рис. 9). Его электрическое поле влияет на колебания маятника. Для моделирования движения заряда q2 используется программа ПР-7.

Рис. 9. К задаче о колебаниях маятника в поле заряда.

Рис. 9. К задаче о колебаниях маятника в поле заряда.

Программа ПР-7.

В нашем случае заряды разноименные и поэтому притягиваются. Получающийся график зависимости угла отклонения маятника от времени изображен на рис. 10. Видно, что при приближении заряда q2 положение равновесия смещается, маятник начинает колебаться чаще. После внесения небольших изменений программа позволяет решить другую задачу, например, промоделировать ситуацию, когда заряд q2 движется по окружности. Для этого следует в текст программы добавить операторы: 

  x0:=30*sin(0.9*t); y0:=-245+30*cos(0.9*t);

Рис. 10. Колебания маятника при поднесении заряда.

Рис. 10. Колебания маятника при поднесении заряда.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-3.pas.

ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .