Электрическая цепь (рис. 1) состоит из источника постоянной ЭДС E=200 В, резистора R₁=400 Ом и нелинейного элемента, вольт-амперная характеристика которого может быть аппроксимирована многочленом третьей степени i(u)=2+5u-0,18u²+0,002u³. Рассчитайте ток в цепи.

Вольт-амперные характеристики обоих элементов изображены на рис. 1 (ВАХ резистора повернута вокруг оси ординат и смещена на E). Напряжение на нелинейном элементе равно U=E-IR₁, поэтому для нахождения искомого тока I следует решить нелинейное алгебраическое уравнение:

Чтобы решить уравнение, необходимо определить количество корней и локализовать их, то есть установить интервалы, внутри которых находится каждый корень. Воспользуемся графическим методом, для этого построим график функции:

, найдем точку его пересечения с осью абсцисс, для которой F(I)=0. Она лежит в интервале 0,2 - 0,4 мА. Самым простым способом решения подобных уравнений является табулирование функции F(I). Это может быть реализовано с помощью алгоритма A - 1 (программа ПР-1). При запуске программы на экран выводятся те значения тока, для которых функция F(I) по модулю меньше чем ε =0,01, т. е. близка к нулю. Это позволяет уменьшить неопределенность в нахождении корня до 0,01, корень уравнения лежит в интервале от 2,960 до 2,965. Ответ: ток примерно равен 2,962 А.

Напишите программу, рассчитывающую сопротивление цепи, состоящей из бесконечной цепочки резисторов R₁=80 Ом и R₂=100 Ом (рис. 2).

Найдем сопротивление участка цепи MABN из двух ветвей, участка цепи MACDBN из четырех ветвей, участка цепи MACEFDBN из шести ветвей. Обобщим получающуюся формулу:

Программа ПР-3 последовательно вычисляет сопротивление Z₁, Z₂, Z₃, ... и результат выводит на экран. Получающиеся значения стремятся к величине 138 Ом.

Напишите программу, решающую систему из N линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим алгоритм, позволяющий решать систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, имеющую следующий вид:

От этой системы перейдите к матрице из элементов a_i,j, где i=1, 2, ... , n и j=1, 2, ... , n+1.

Приведите данную матрицу к треугольному виду. Чтобы исключить деление на ноль, сложите левые и правые части первого и второго, первого и третьего, второго и четвертого уравнений и т. д. Первый шаг состоит в следующем: разделите все элементы каждой строки матрицы (или каждого уравнения системы) на первый коэффициент a_i1, где i = 1, 2... n. Тогда все элементы a_i1 из первого столбца будут равны 1. Вычтите из второго, третьего и последующих уравнений первое. Матрица коэффициентов приобретет вид:

где a'_i,j=a_i,j/a_i1- a_1j/a₁₁, где i=1, 2, ... , n и j = 1, 2... n + 1. После этого сделаем второй шаг: разделим вторую, третью и последующие строки матрица на соответствующие коэффициенты a_i2, после чего вычтем из третьей, четвертой и последующих строк вторую строку. Получим:

где a''_ij=a'_ij/a'_i1- a'_1j/a'₁₁, где i = 1, 2... n и j = 1, 2... n + 1. После n-го шага получим матрицу треугольного вида:

Искомые значения находятся по формулам:

Желательно, чтобы программа осуществляла проверку решения, подставляя найденные значения x₁, x₂... в исходную систему уравнений. Текст такой программы ПР-4 представлен ниже.

Рассчитайте цепь постоянного тока, состоящую из нескольких контуров (рис. 3). Сопротивления резисторов R₁=13 Ом, R₂=21 Ом, R₃=15 Ом, R₄=8 Ом, R₅=17 Ом, R₆=11 Ом. ЭДС источников E₁=5 В, E₂=13 В, E₃=9 В, E₄=-6 В, E₅=12 В, E₆=-8 В.

Используя законы Кирхгофа составьте систему уравнений. Подставьте вместо сопротивлений и ЭДС конкретные значения, перенесите все члены в левую часть:

Для решения системы уравнений с n неизвестными используется программа ПР-4. На экран выводятся значения переменных и осуществляется проверка: в исходную систему подставляются найденные значения x_i, i = 1, 2... n. При этом левые части уравнений обращаются в ноль, что подтверждает правильность решения. Итак, полученные значения токов: I₁=0,481 А, I₂=0,812 А, I₃=-0,331 А, I₄=-0,086 А, I₅=-0,395 А, I₆=0,726 А. Знак минус означает, что реальное направление тока в соответствующей ветви противоположно предполагаемому.

Цепь состоит из источника переменной ЭДС и трех ветвей, в каждой из которых резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Вторая и третья ветви соединены параллельно между собой, последовательно с ними включена первая ветвь (рис. 4). Рассчитайте все токи и напряжения, полную, активную и реактивную мощности. Постройте векторную диаграмму. Определите действующие значения всех токов и напряжений.

Допустим, цепь имеет параметры: R₁=10 Ом, L₁=0.08 Гн, C₁=1200 мкФ, R₂=8 Ом, L₂=0.42 Гн, C₂=1500 мкФ, R₃=14 Ом, L₃=0.14 Гн, C₃=1270 мкФ. Для вычисления импедансов, токов и напряжений для каждой ветви используются формулы:

Представленная ниже программа ПР-5 содержит процедуры Sum, Razn, Proizv, Delen, Modul, позволяющие определять сумму, разность, произведение, отношение двух комплексных чисел и находить модуль комплексного числа. С помощью этих процедур осуществляются расчеты комплексов тока и напряжения, комплекса мощности.

Напишите программу, решающую систему из N линейных уравнений в комплексных числах и позволяющую рассчитать трехфазную цепь, изображенную на рис. 5.

Изучение трехфазных цепей предполагает нахождение комплексных значений токов, что требует решения системы уравнений в комплексных числах. По законам Кирхгофа составьте систему уравнений в комплексных числах. Цепь имеет три независимых контура и два узла O и O', всего 4 ветви; получаем систему из 4 независимых уравнений:

Эта системы уравнений может быть решена путем приведения матрицы коэффициентов к треугольному виду. В используемой программе ПР-6 операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел осуществляются в процедурах Sum, Razn, Proizv, Delen. Сначала, чтобы исключить деление на 0, складываются второе, третье и последующие уравнения с первым. Делят элементы каждой строки матрицы на первый элемент, после чего вычитают из второй, третьей и т.д. строк первую. В результате первые элементы второй, третьей и последующих строк оказываются равными 0. Аналогичным образом приводят к 0 вторые элементы третьей, четвертой и последующих строк и т. д. Эти операции повторяют до тех пор, пока матрица не будет приведена к треугольному виду. Это позволяет вычислить искомые значения комплексов токов и осуществить проверку решения. Эта программа может быть использована для решения системы уравнений в действительных числах.