Проблема движения тела вокруг закрепленной точки является одним из сложных вопросов динамики твердого тела. Так как при этом каждая точка тела движется по сферической поверхности, то такое движение называется сферическим. Само тело при этом называют волчком; различают асимметричный, симметричный и шаровой волчок. Юла, шестеренка, гироскоп (массивный диск, насаженный на стержень), -- это примеры симметричного волчка, так как два их главных центральных моментов инерции равны.

Неподвижный волчок ведет себя как обычное твердое тело и под действием внешнего момента сил поворачивается в том же направлении. Если волчок вращается, то происходит гироскопический эффект: при действии на ось вращающего момента, она поворачивается в перпендикулярном к нему направлении. Вращающийся гироскоп стремится сохранить ориентацию своей оси в пространстве, что используется в гирокомпасах. Особый интерес представляет собой движение волчка в однородном силовом поле. Ось гироскопа, нижняя точка которой закреплена, прецессирует, поворачиваясь вокруг вертикали и описывая коническую поверхность (рис. 1.1). Так как из-за сил трения скорость вращения уменьшается, то ось волчка спиралеобразно удаляется от вертикали. Если прецессия нерегулярная, то угол нутации θ колеблется относительно некоторого значения, точка А выписывает сложную кривую, ось гороскопа совершает нутационные колебания.

Задача 1. Промоделируйте сферическое движение твердого тела вокруг закрепленной точки в поле тяжести, заменив его системой из трех частиц, связанных достаточно жесткими стержнями. Одна из частиц закреплена.

Мысленно заменим гироскоп, имеющий форму диска с осью (рис. 1.1), системой из трех материальных точек, находящихся в вершинах равнобедренного или даже равностороннего треугольника с длиной стороны l0 и связанных жесткими невесомыми стержнями (рис. 1.2). Можно подобрать массы материальных точек и длины сторон треугольника так, чтобы получившаяся система полностью соответствовала какому-то реальному гироскопу с вполне конкретной массой, моментом инерции и положением центра масс (ЦМ). Точка 3 остается неповижной, ее координаты не изменяются. Вместо жестких стержней будем рассматривать упругие стержни с большим коэффициентом жесткости k. В этом случае задача сводится к расчету движения двух частиц m1 и m2, связанных между собой упругими стержнями в однородном поле тяжести при заданных начальных условиях.

Рис. 1. Моделирование сферического движения твердого тела.

Рассмотрим симметричную систему из трех материальных точек m₁, m₂, m₃, связанных между собой упругими невесомыми стержнями, которая находится в однородном поле тяжести (рис. 1.2). Точка m₃ закреплена, точки m₂ и m₃ имеют равные массы, они движутся в среде с вязкостью r. Если их начальные скорости равны и направлены противоположно, то начальная скорость ЦМ C равна 0. Стержни имеют жесткость k, их длины в недеформированном состоянии равны l₀. Пусть в начальный момент все точки лежат в плоскости yOz, а ось собственного вращения OC образует с осью Oy угол π/2-θ₀. Тогда начальные координаты частиц m₁ и m₂ равны:

На каждую частицу действуют силы упругости со стороны двух стержней. Их проекции на оси координат можно рассчитать по формулам:

Движение материальных точек подчиняется законам Ньютона. В конечных разностях можно записать:

Чтобы охарактеризовать движение волчка, проследим за перемещениями ЦМ С и его оси вращения ОС. Координаты ЦМ С определяются по формулам:

Для получения на экране ПЭВМ трехмерного изображения траектории ЦМ С необходимо перейти от его пространственных координат x, y, z к координатам экрана X и Y (рис. 1.2). Для этого используются формулы:

Для расчета угла прецессии φ и угла нутации θ используют формулы:

Рассмотренная выше модель позволяет изучить сферическое движение твердого тела и, в частности, вращение гироскопа в однородном нестационарном силовом поле. Для этого используется программа ПР-1.

Программа ПР-1.

На рис. 2 показана траектория центра масс гироскопа, движущегося в однородном поле тяжести с учетом силы вязкого трения. По аналогичной траектории движется апекс -- точка пересечения оси волчка со сферой единичного радиуса. Видно, что происходит нутация волчка: угол нутации гироскопа периодически изменяется в некотором интервале. Одновременно с этим ось волчка OC прецессирует, поворачиваясь вокруг вертикальной оси Oz. Из-за силы вязкого трения волчок теряет свою скорость и угол нутации постепенно увеличивается. Когда гироскоп остановится, его ось ОС будет направлена вертикально вниз.

Рис. 2. Движение оси гироскопа в однородном поле тяжести.

Характер изменения угла нутации виден из рис. 3. Из-за уменьшения скорости собственного вращения среднее значение угла нутации увеличивается, период нутационных колебаний растет. Траектория движения центра масс зависит от начальных условий. Рис. 2 соответствует ситуации, когда при t=0 скорости частиц 1 и 2 равны по модулю и противоположны по направлению, и начальная скорость ЦМ волчка равна нулю. Если начальные скорости частиц 1 и 2 по модулю будут неодинаковыми, то в момент t=0 ЦМ С волчка будет иметь некоторую скорость и станет выписывать петли, которые через некоторое время исчезают за счет силы вязкого трения (рис. 4).

Рис. 3. Изменения угла нутации гироскопа с течением времени.

Рис. 4. Движение волчка: ЦМ имеет начальную скорость.

Задача 2. Промоделируйте сферическое движение твердого тела вокруг закрепленной точки в поле тяжести, заменив его системой из пяти частиц, связанных достаточно жесткими стержнями. Одна из частиц закреплена.

Для того, чтобы промоделировать сферическое движение произвольного твердого тела (асимметричного волчка) перейдем к модели из пяти частиц, находящихся в узлах правильной четырехугольной пирамиды (рис. 5). Эта задача решается аналогично, используется программа ПР-2. В случае, когда массы частиц m1, m2, m3 и m4 одинаковы, программа моделирует движение осесимметричного волчка. В общем случае необходимо задать различные значения масс материальных точек.

Рис. 5. Пятиточечная модель волчка.

Программа ПР-2.

На рис. 6.1 показана траектория движения центра масс симметричного волчка в силовом поле, интенсивность которого скачком увеличивается. Видно, что угол нутации успевает совершить несколько колебаний небольшой амплитуды и периода, после чего амплитуда и период нутационных колебаний возрастают. Не трудно промоделировать ситуации, когда массы частиц с течением времени изменяются, напряженность силового поля плавно уменьшается или резко поворачивается на заданный угол, точка O колеблется вдоль оси Oz. На рис. 6.2 показана сложная траектория центра масс асимметричного волчка (гироскопа со смещенным центром масс) в стационарном однородном поле.

Рис. 6. Движение центра масс волчка (пятиточечная модель).

Чтобы добиться регулярной прецессии, при которой ось гироскопа не совершает нутационных колебаний, а движется строго по конической поверхности, необходимо подобрать очень специфические начальные условия. Если же просто увеличить скорость собственного вращения волчка, то его нутация будет практически незаметной. Такая прецессия называется псевдорегулярной.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl2-2.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .