Одним из эффективных методов изучения технических устройств является метод компьютерного моделирования. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать, они позволяют имитировать эксперименты, реальная постановка которых затруднена или может дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей помогают выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемых объектов, исследовать отклик системы на изменения ее параметров и внешних воздействий. Метод компьютерного моделирования предполагает построение математической модели исследуемого объекта, разработку алгоритма, написание программы и проведение серии вычислительных экспериментов при различных параметрах системы, внешних воздействиях и начальных условиях.

Задача 1. Измерительный прибор состоит из двух постоянных магнитов, цилиндра из магнитомягкого материала, подвижной обмотки, к которой прикреплена стрелка, и пружины, соединяющей стрелку с корпусом прибора. Методом компьютерного моделирования изучите движение стрелки прибора при подаче постоянного напряжения, прямоугольных импульсов и т.д.

Если на концы обмотки подать напряжение, то по ней потечет ток, и со стороны магнитного поля неподвижных магнитов подействует вращающий момент. Подвижная обмотка со стрелкой повернется и растянет пружину. Чтобы колебания стрелки быстро затухли, используется воздушный демпфер, состоящий из изогнутого сосуда и поршня. Для подвижной обмотки со стрелкой запишем основной закон динамики вращательного движения:

где I -- момент инерции подвижной обмотки со стрелкой, ε -- ее угловое ускорение, M_M=k₁i -- вращающий момент магнитных сил, M_У=-k₂φ -- момент силы упругости, M_ТР=-k₃ω -- момент сил вязкого трения. Если учесть ЭДС индукции -k₄dφ/dt и самоиндукции -L>di/dt, возникающие во вращающейся в магнитном поле обмотке по которой течет изменяющийся ток, то из второго закона Кирхгофа имеем:

Угол поворота стрелки изменяется от 0 до 90^o; на концах шкалы установлены ограничители движения. При частично упругом ударе стрелки об ограничитель она теряет часть своей скорости и отскакивает в противоположную сторону. Следует учесть отскакивание стрелки от ограничителей.

Запишем представленные выше дифференциальные уравнения в конечных разностях:

Для моделирования используется программа ПР-1. Она содержит цикл по времени, в котором пересчитываются сила тока в обмотке, действующие моменты сил, угловые ускорение, скорость и координата подвижной обмотки со стрелкой. Результаты выводятся на экран в виде графиков (рис. 1).

Программа ПР-1.

На рис. 1.1 представлен график затухающих колебаний стрелки при подаче на подвижную обмотку постоянного напряжения. Если на вход прибора подать прямоугольные импульсы напряжения низкой частоты, то стрелка будет совершать вынужденные колебания, изображенные на рис. 1.2. При подаче на вход импульсов напряжения, получающихся в результате однополупериодного направления, стрелка прибора совершает колебания, изображенные на рис. 1.3 и 1.4. Можно убедиться, что амплитуда вынужденных колебаний сильно зависит от соотношения собственной частоты подвижной обмотки со стрелкой и частоты подаваемого напряжения. Компьютерная модель позволяет исследовать поведение измерительного прибора при его различных параметрах и подаваемых напряжениях.

Рис. 1. Колебания стрелки прибора при подаче импульсов напряжения.

Задача 2. Трехфазный АД состоит из статора, содержащего три обмотки, повернутые на 120o, и короткозамкнутого ротора (рис. 2). При подаче на обмотки трехфазного напряжения возникает вращающееся магнитное поле, которое индуцирует в роторе индукционные токи и, взаимодействуя с ними, вызывает вращение ротора.

Рис. 2. Устройство трехфазного асинхронного двигателя.

Рассмотрим упрощенную модель, в которой не учитывается влияние магнитного поля ротора на токи в обмотках статора. Внутри статора возникает магнитное поле с индукцией BS, вращающееся со скоростью ω1. Так как угол поворота ротора равен φ, то угол между вектором магнитного поля статора BS и нормалью к виткам обмотки ротора составляет α=ω1t-φ. Виток ротора имеет площадь SR. Запишем систему уравнений:

где L -- индуктивность обмотки ротора. Со стороны магнитного поля статора на ротор действует вращающий момент M. Угловое ускорение ротора равно ε, где M_Т -- тормозящий момент, действующий на ротор со стороны подшипников, M_Т -- механическая нагрузка на валу, I -- момент инерции ротора. Угловые скорость и ускорение ротора равны: ω=dφ/dt, ε=dω/dt .

В записанных выше диффуравнениях заменим производные их конечно-разностными аппроксимациями:

Программа ПР-2, моделирующая работу асинхронного двигателя, содержит цикл по времени, в котором пересчитываются значения тока в обмотке ротора, мгновенного и среднего значений вращающего момента, угловых ускорений, скоростей и перемещений ротора в последовательные моменты времени. Магнитное поле статора движется относительно ротора АД со скоростью ω₁-ω₂, поэтому мгновенный вращающий момент периодически изменяется с этой частотой.

Программа ПР-2.

Рис. 3. Работа асинхронного двигателя при изменении нагрузки на валу.

На рис. 3 показано, как изменяется скорость вращения ротора асинхронного двигателя и действующий на него средний вращающий момент M_ср при ступенчатом изменении механической нагрузки на валу. При увеличении нагрузки скорость ротора уменьшается, средний вращающий момент M_ср растет.

Задача 3. Система состоит из асинхронного двигателя, вал которого соединен с валом синхронного генератора. Генератор имеет статор с неподвижной обмоткой и ротор, который вращается под действием механического момента, создаваемого двигателем. К обмотке статора генератора подключена нагрузка, по ней течет ток. Что произойдет, если резко изменить нагрузку?

Через обмотку вращающегося ротора генератора течет постоянный ток, возникает вращающееся магнитное поле с индукцией B. Магнитный поток через обмотку статора равен Ф, в ней возникает ЭДС индукции eG, где NS -- число витков. Если к обмотке статора подключить нагрузку сопротивлением R, то потечет ток i. Эти процессы описываются уравнениями:

Здесь L -- индуктивность обмотки статора, B_S -- индукция магнитного поля статора, которое тормозит вращение вала, создавая механическую нагрузку M_H. Запишем дифференциальные уравнения в конечных разностях:

Программа ПР-3, моделирующая работу системы "двигатель-генератор" в случае, когда сопротивление нагрузки генератора ступенчато уменьшается, представлена ниже.

Программа ПР-3.

Рис. 4. Моделирование системы "двигатель-генератор".

При запуске программы ПР-3 получаются графики, изображенные на рис. 4. В моменты t₁ и t₂ нагрузка генератора ступенчато повышается, что вызывает увеличение механической нагрузки на валу двигателя. Среднее значение вращающего момента АД M_ср растет, скорость вращения ротора ω₂ уменьшается. Сила тока генератора i(t) совершает колебания с частотой вращения его ротора; в моменты t₁ и t₂ ее амплитуда резко увеличивается, так как сопротивление нагрузки R уменьшается, а ротор по инерции продолжает двигаться с большой скоростью. Через некоторое время скорость ротора снижается, амплитуда тока i(t) уменьшается.

Задача 4. Замкнутая система автоматического регулирования скорости (рис. 5), состоит из двигателя постоянного тока 2, вал которого соединен с тахометром 3, подключенным к электронному устройству управления 1, регулирующему напряжение на обмотке якоря. Вал двигателя соединен с управляемым объектом 4. Через обмотку статора течет постоянный ток возбуждения. Малоинерционный тахометр 3 выдает напряжение, пропорциональное скорости вращения ротора, которое поступает на вход устройства управления 1. Необходимо промоделировать работу этой системы.

Рис. 5. Система автоматического регулирования скорости вращения.

Анализируемая САУ работает так: при отклонении скорости вращения вала от заданной величины происходит изменение напряжения питания на якоре двигателя u на величину Δ в соответствии с определенным законом регулирования. В результате скорость вращения ω снова возвращается к заданному значению A. Используя метод компьютерного моделирования, изучим работу этой самоадаптирующейся системы при изменении механической нагрузки на валу. Функционирование этой системы описывается уравнениями:

Здесь E_Я -- противо-ЭДС, возникающая в обмотке якоря вследствие его вращения, Ф -- поток возбуждения, L и R -- индуктивность и сопротивление обмотки якоря, u -- напряжение питания, I -- момент инерции ротора двигателя, M -- вращающий момент, действующий на ротор со стороны магнитного поля статора, M_ТР -- тормозящий момент, действующий на ротор со стороны подшипников, M_Н -- механическая нагрузка на валу, ε и ω -- угловые ускорение и скорость вала.

Учесть влияние цепи обратной связи, состоящей из тахометра и устройства управления, можно, задав закон регулирования. Он может выражаться зависимостью вида du/dt=a(A-ω), где A -- заданное значение угловой скорости. Если ω меньше A, то управляющее напряжение u и скорость ротора ω растут, а если ω больше A, то u и ω уменьшаются.

Заменим производные их конечно-разностными аппроксимациями:

Используемая программа ПР-4, включает в себя цикл по времени t, в котором пересчитываются перечисленные выше величины, и строятся соответствующие графики.

Программа ПР-4.

Рис. 6. Результаты компьютерного моделирования работы двигателя.

Сначала промоделируем работу машины постоянного тока в режиме двигателя и изучим, как изменяется угловая скорость ротора и ток якоря при включении и резком увеличении нагрузки (рис. 6.1). Видно, что при включении ток якоря резко возрастает, скорость вращения начинает расти. Когда наступает равенство M=M_T+M_H, скорость ротора ω и ток якоря достигают своих предельных значений. В момент t₁ резко возрастает момент нагрузки M_H, скорость вращения ротора ω уменьшается, потребляемый ток растет, стремясь к новому предельному значению.

Теперь рассмотрим замкнутую САУ, состоящую из двигателя (МПТ), тахометра, цепи управления. Пусть закон регулирования напряжения питания двигателя задан так:

Для моделирования этой системы используется программа ПР-5; результаты представлены на рис. 6.2. При включении системы напряжение питания растет, ток якоря и скорость вращения ротора увеличиваются. Когда ω больше A, управляющее напряжение начинает уменьшаться, уходя в область отрицательных значений. Скорость ротора падает, снова проскакивая заданное значение A. После двух-трех затухающих колебаний скорость системы стабилизируется в интервале [A-ΔA; A+ΔA;]. В момент t₁ скачком увеличивается момент нагрузки на валу, угловая скорость резко уменьшается. Напряжение питания и ток якоря растут, затем уменьшаются, совершая затухающие колебания относительно новых "положений равновесия". Угловая скорость ω после нескольких колебаний опять стабилизируется в интервале [A-ΔA; A+ΔA;].

Программа ПР-5.

Теперь исследуем функционирование анализируемой САУ в случае, когда закон регулирования имеет вид: du/dt=b(A-ω), то есть напряжения питания двигателя изменяется пропорционально отклонению от заданного значения A. Для этого в программе ПР-5 необходимо раскомментировать оператор dU:=0.002*(a-w);. Получающиеся графики представлены на рис. 7.1. Видно, что при резком изменении момента нагрузки скорость ротора, совершив несколько колебаний, возвращается к заданному значению A.

Рис. 7. Работа системы автоматического регулирования скорости.

Для того, чтобы изучить поведение системы при равномерном увеличении механической нагрузки на валу M_H, следует активизировать оператор: if t>70 then Mn:=1.1*(t-70);. Если при этом мы хотим учесть, что коэффициент b в законе регулирования, когда ω больше и меньше A имеет различные значения, то необходимо раскомментировать операторы:

если W меньше A, то dU:=0.002*(a-w); 
если W больше A, то dU:=0.02*(a-w);.

В случае, когда коэффициенты неодинаковы, кривая колебаний ω(t) относительно значения A несимметричная (рис. 7.2).

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl2-3.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .